커졌다 작아졌다 순환…점 대칭의 신비

네덜란드의 예술가 에스헤르의 나무 조각 <물고기와 비늘>(1959년)은 그 모양이 특이해서 눈길을 끈다. 이 그림의 중심에 점을 찍으면 그림에 그려진 물고기들은 이 점에 대해 대칭을 이룬다.(그림 1) 또 이 그림에 선을 그어 그림을 위와 아래로 분리하면 그림의 구조가 더 잘 보인다. 왼쪽 가운데에는 검고 큰 물고기의 머리가 보이고, 이 물고기 등의 비늘이 아래로 향하면서 작고 검은 물고기와 작고 하얀 물고기로 변하고 있다. 작고 검은 물고기들은 아래로 내려가서 오른쪽으로 이동할수록 점점 크기가 커지고, 크고 하얀 물고기들은 왼쪽으로 이동할수록 점점 크기가 작아진다. 오른쪽 가운데에는 크고 검은 물고기의 머리가 보이고, 이 물고기 등의 비늘이 위로 향할수록 작고 검은 물고기와 작고 하얀 물고기로 변하고 있다. 작고 검은 물고기들은 위로 올라가서 왼쪽으로 이동할수록 점점 크기가 커지고, 크고 하얀 물고기들은 오른쪽으로 이동하면서 점점 크기가 작아진다.(그림 2) 수학적인 점 대칭과 비례관계를 이용해 곡선을 따라 비늘이 물고기로, 물고기가 비늘로 변하는 순환관계를 나타내려 한 것일까? 아니면 부분과 전체의 관계를 나타내려고 한 것일까? 이 그림은 수학적인 구조 때문에 그 신비감이 더해진다.

관찰하고 추측하기

1. 종이 위에 삼각형 ABC를 그리고 각 변 AB, BC, CA을 16등분해 각 등분점에 1부터 15까지 번호를 붙이자. 변 AB의 점과 변 BC의 점을 선분으로 이어 보자. 변 AB위의 점 A, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 각각을 기준으로 변 BC 위의 점 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, C에 하나씩 차례로 선분으로 연결해 보라. 16개의 선분은 곡선에 가까운 선을 만들어 낸다.(그림 3) 같은 방법으로 변 BC 위의 점과 변 CA 위의 점을, 변 CA 위의 점과 변 AB 위의 점을 선분으로 이어 보라. 곡선에 가까운 선이 3개 만들어진다. 이 선들은 다시 삼각형 ABC 안에 부풀어 오른 역삼각형을 만들어 낸다. 각 변을 더 세밀하게 등분하면 할수록 만들어지는 선은 훨씬 더 곡선에 가까워진다.(그림 4)

2. 이번엔 종이 위에 정사각형 ABCD를 그리고 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 DA를 각각 16등분하자. 변 AB 위의 점들과 변 BC 위의 점들을, 변 BC 위의 점들과 변 CD 위의 점들을 앞의 방법과 같이 선분으로 연결하면 근사적인 곡선 2개가 만들어진다.(그림 5) 변 CD 위의 점들과 변 DA 위의 점들을, 변 DA 위의 점들과 변 AB 위의 점들을 선분으로 연결하면 근사적인 곡선 2개가 더 만들어진다. 이렇게 만들어진 근사적인 곡선들은 정사각형 ABCD 안에 부풀어 오른 정사각형을 만들어 낸다.(그림 6) 김흥규/서울 광신고 교사 [e-mail]