도형과 수는 ‘이웃사촌’이래요

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수학개념 쏙쏙/

예외 없이 항상 성립하는 관계는 흥미롭다. 이 세상에 가족수가 세 명인 가정들을 모두 모은다면, 식구 수가 셋이라는 것 말고 또다른 공통점을 또 찾을 수 있을까? 가족수가 셋인 가정들은 모두 남자들만 사는 가정일까? 그건 아니다. 가족수가 셋인 가정의 키의 합은 어느 집이나 똑같을까? 그것도 아니다. 가족수가 셋인 가정의 몸무게의 합은 어느 집이나 똑같을까? 그건 더더욱 아니다. 만약 이들 가정의 특별한 공통점을 찾을 수 있다면 “이 세상에서 가족수가 셋인 가정은 항상 ~이다.”라고 할 수 있을 것이다. 그리고 새롭게 만들어지는 세 가족들도 항상 그러한 특징을 갖으리라는 것까지 예측할 수 있다.

수나 도형은 ‘사물의 공통점’이다. 사람 세 명과 연필 세 자루가 있다면, 사람 모임과 연필 모임은 모양 뿐 아니라 여러 가지가 다르지만 ‘3개’라는 점에서는 같다. 따라서 수 ‘3’은 이들 모임의 공통점이다.

빨대 3개와 나무젓가락 1쌍은 개수는 다르지만 가늘고 기다란 모양이라는 점에서는 같다. 따라서 ‘길죽한 모양’은 이들 모임의 공통점이다. 이렇게 보면 ‘수’와 ‘모양’은 따로 떨어진 개념처럼 보인다.

수학 시간에 배울 때는 평면과 입체 등의 ‘모양’에 관한 것은 ‘도형’ 단원에서 배우고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 계산은 ‘수와 연산’ 단원에서 주로 배운다. 그렇다보니, “나는 계산은 잘 하는데, 도형엔 약해.”라거나, “나는 도형은 재밌는데 계산하는 건 질색이야.”라고 하는 아이들도 많고, 수와 도형이 서로 다른 것이라고 생각하는 어른들도 많다.

하지만 수와 도형은 서로 연결되어 있다. 어떻게 연결되어 있는지 알아보자.

삼각형, 사각형, 오각형, 직육면체, 정육면체, 원, 구 등 도형의 이름은 모양에 따라 지은 이름이다. 도형의 이름에는 형태의 공통점이 들어있다. 여러 도형 중에서 삼각형에 대해 생각해 보자. 모든 삼각형은 각이 3개이다. 삼각형은 세 각이 어떤 각이냐에 따라 다르게 불린다. 세 각이 모두 예각(90보다 작은 각)이면 예각 삼각형, 세 각 중 직각(90도)이 있으면 직각 삼각형, 세 각 중에서 둔각(90도 보다 큰 각)이 있으면 둔각 삼각형이다. 삼각형 중에서도 각의 크기가 따라 이름이 달라지는 것이다.

하지만 어떤 삼각형이든 간데, 모양에 상관없이 세 각의 합은 항상 ‘180도’로 똑같다. 다음 활동을 통해 확인할 수 있다.

따라서 둔각 삼각형의 세 각의 합이나, 예각 삼각형의 세 각의 합이나, 직각 삼각형의 세 각의 합이나 언제나 180도이다.

모든 다각형은 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 삼각형의 내각의 합은 언제나 180도이기 때문에 어떤 다각형이 몇 각형인지만 알면 내각의 합이 얼마인지를 알 수 있다. 사각형은 삼각형 2개로 쪼갤 수 있다.

따라서 사각형의 네 각의 합은 180도의 2배이다. 사각형의 네 각의 합은 360도. 오각형은 삼각형 3개로 쪼갤 수 있다

따라서 오각형의 다섯 각의 합은 180도의 3배이다. 오각형의 내각의 합은 540도. 육각형은 삼각형 3개로 쪼갤 수 있다. 따라서 육각형의 여섯 각의 합은 180도의 4배이다. 육각형의 내각의 합은 720도.

십각형은 삼각형 몇 개로 쪼갤 수 있을까? 그렇다. 7개로 쪼갤 수 있다. 따라서 십각형의 열개의 각의 합은 180도의 7배인 1260도이다. 백각형은 어떨까? 백각형을 삼각형으로 쪼개면 모두 97개가 나온다. 따라서 백개의 각의 합은 180 ×97, 즉 17460도이다.

지금까지 알아본 것에서, ‘각’은 도형이고, ‘각도’는 수이다. 형태를 관찰하면서 그 형태들간의 수(측정)를 알아보는 것처럼, 수와 도형은 연결되어 있다.

신석기 시대에 남긴 유물을 통해, 그림이나 도형에 관심을 가지고 있었던 것을 추측할 수 있다. 고대 바빌로니아인들의 경우도, 도형은 일종의 ‘계산’을 위한 것이었다. 그 당시에는 도형을 관찰하기보다는 도형의 넓이나 부피를 구하는 일을 더 많이 했다. ‘도형’이라고 해서 단지 형태만 관찰하는 것은 아니고, ‘수’라고 해서 무조건 사칙연산만 하는 것은 아니라는 것을 기억하자.

강미선/수학 칼럼니스트 [e-mail]