비행기 '무게중심' 구해 안전 운항

비행기의 빈 자리를 볼 때면 비행 중에 비행기가 한쪽으로 쏠리지 않을까 걱정하게 된다. 비행기의 무게가 어느 한쪽으로 치우치지 않고 균형을 이뤄야 비행기가 안전하게 날 수 있을 것이라는 생각 때문이다. 실제로 항공회사에선 여객과 화물에 대한 수속이 끝나면 승객, 화물, 비행기 자체의 무게 등을 고려해 컴퓨터로 비행기의 무게중심을 구한다고 한다. 따라서 비행기 안에 빈 자리가 있다고 이리저리 생각 없이 옮겨 앉으면 비행기의 무게중심이 바뀌어 비행기 운항에 지장을 주게 된다.

무게중심을 수학적으로 구할 수 있을까? 폭이 일정한 막대 하나를 손가락 위에 올려 균형을 잡아 보자. 막대 밑의 가운데 지점(막대 전체 길이의 2분의 1 지점)에 손가락을 놓으면 막대는 균형을 이룬다.(그림 1) 막대의 가운데 지점이 막대의 무게중심인 셈이다. 이번엔 두 개의 막대를 겹치되 옆으로 최대한 길게 빼 균형을 이루면 막대 길이는 처음 길이의 몇 배가 될까? 겹쳐진 부분이 전체 길이의 2분의 1이므로 막대의 전체 길이는 처음의 1.5배가 된다.(그림 2) 결국 이 막대의 무게중심은 두 막대의 겹친 부분의 가운데 지점이 된다. 삼각형이나 사각형의 무게중심은 어떻게 구할까? 수학적으로 생각해 보자.

관찰하고 추측하기

1. 삼각형의 무게중심을 수학적으로 구해 보자. 삼각형 ABC에서 세 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라 하자. 두 점 A와 D, B와 E, C와 F를 서로 연결하면 세 선분 AD, BF, CF를 얻는다. 이 세 선분은 모두 한 점에서 만난다. 이 점을 수학에선 삼각형 ABC의 무게중심이라 부르고, 보통 G(중력을 뜻하는 영어 Gravity의 첫 글자)로 표기한다.(그림 3) 그런데 왜 무게중심이라고 부르는 걸까? 점 G는 세 선분 AD, BE, CF를 각각 2:1로 나누는 점이다. 그래서 세 삼각형 GAB, GBC, GCA의 넓이는 서로 같아진다. 따라서 삼각형 ABC가 무게를 가질 경우 세 삼각형 GAB, GBC, GCA의 무게는 각각 삼각형 ABC의 무게의 3분의 1이 된다. 또 점 G에 핀을 꽂아 삼각형 ABC를 돌리면 삼각형 ABC는 균형을 이루며 잘 돌아간다.

2. 사각형의 무게중심을 수학적으로 구해 보자. 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, AD에 중점을 찍고 마주 보는 중점을 연결해 얻은 두 선분은 점 G에서 만난다. 또 대각선 AC와 대각선 BD의 중점들을 서로 연결하여 얻은 선분은 점 G를 지난다.(그림 4) 점 G가 바로 사각형 ABCD의 무게중심이다. 두꺼운 종이나 우드락으로 삼각형이나 사각형을 만들어 직접 무게중심을 찾아보라. 발견의 기쁨은 실험하는 자의 몫이다. 김흥규/서울 광신고 교사 [e-mail]