‘직사각형←원→타원’ 우린 한가족

서울 서초동 예술의 전당 근처에는 비스듬한 케이블로 지탱되는 특이한 모양의 육교가 있어 눈길을 사로잡는다. 길이 50m, 높이 6.3m, 폭 3.2m인 이 육교는 프랑스의 유명한 디자이너 다비드 피에르 잘리콩이 설계해 지난해 11월1일 완공됐다. 낮엔 유리판 위로 물(아쿠아)이 흘러 폭포가 되고, 저녁엔 여러 이미지가 투영되어 아름다운 예술(아트)을 보여 주는 다리(브리지)여서 ‘아쿠아 아트 브리지’라고 불린다. 육교의 계단을 오르며 쳐다보니 비스듬한 원 모양의 유리판 안에 일정한 비율로 찌그러진 원(타원) 모양의 구멍 안으로 다리가 지나가고 있다.(그림 1, 2) 다리를 다 건너서 돌아보니 전혀 다른 세상에 와있는 듯하다. 마치 우주선 안에서 밖을 보는 듯 하다.(그림 3) 원과 타원의 특성을 수학적으로 간단히 살펴보자.

관찰하고 추측하기

1. 타원의 중심을 지나는 가로축과 세로축을 생각하면 타원은 가로축과 세로축에 대해 대칭이다. 타원의 가로축과 세로축을 빨간 색으로 표시해 가로축 길이의 반을 r, 세로축 길이의 반을 a라 하면 타원의 넓이는 얼마일까? 수학적인 계산에 의하면 타원의 넓이는 πra가 된다.(그림 3) 만약 타원의 가로축과 세로축의 길이가 같아지면 타원의 넓이는 어떻게 될까? a를 r로 바꿔 놓으면 타원의 넓이는 πr(원주율×r×r)이 된다. 이것은 반지름의 길이가 r인 원의 넓이와 같다. 타원과 원 사이엔 어떤 관계가 있을까? 수학에선 타원과 원이 둘 다 이차식으로 표현되어 이차곡선으로 불린다. 또 원과 타원은 가로축 방향 또는 세로축 방향으로 축소 또는 확대되면 서로의 모양으로 바뀐다. 이런 관점에서 타원과 원은 같은 족속인 셈이다.

2. 원을 8등분, 24등분, 72등분하면 생기는 부채꼴 하나의 중심각은 각각 45도, 15도, 5도이다. 부채꼴을 위아래로 엇갈리게 반반씩 붙여 만들어지는 도형은 부채꼴의 개수가 많을수록 직사각형에 가까워진다.(그림 4) 반지름의 길이가 r인 원의 둘레는 2πr이므로 부채꼴로 만든 도형의 가로 길이인 L, L, L는 모두 πr이다. 원을 무한히 등분할 수 있다고 가정하면 원은 직사각형으로 바뀐다. 따라서 원의 넓이는 직사각형의 넓이인 πr×r이 된다. 결국 반지름의 길이가 r인 원의 넓이는 πr이 된다. 김흥규/서울 광신고 교사 [e-mail]